Formeln und Messreihen deuten
Formeln lesen statt einsetzen, Logarithmus-Ankerpunkte und der Verdopplungstest für Tabellen.
Nicht jede Aufgabe in diesem Untertest will eine Zahl. Oft prüfst du Aussagen über eine Formel oder suchst den Zusammenhang hinter einer Messreihe. Beides geht schneller, wenn du die Struktur liest.
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Nicht jede Aufgabe in diesem Untertest will eine Zahl. Oft prüfst du Aussagen über eine Formel oder suchst den Zusammenhang hinter einer Messreihe. Beides geht schneller, wenn du die Struktur liest.
- Du liest an einer Formel ab, wie sich das Ergebnis ändert, wenn du eine Größe verdoppelst.
- Du prüfst Aussagen über Grenzfälle, Proportionalitäten und Einheiten, ohne alles auszurechnen.
- Du rechnest mit den Ankerpunkten des Logarithmus, etwa beim pH-Wert.
- Du erkennst in Tabellen lineare, quadratische, kubische, Wurzel- und reziproke Zusammenhänge.
Formeln lesen statt einsetzen
Aufgaben vom Typ „Welche der folgenden Aussagen trifft zu?“ fragen, wie Größen zusammenhängen. Statt fünf Varianten durchzurechnen, schau auf den Aufbau: Wo steht eine Größe, mit welcher Hochzahl? Rechne nur, wo eine Aussage es erfordert.
Vier Fragen an jede Formel
- Variable oder Konstante: Was ändert sich, was ist fest? Zahlen wie 1/2 und Stoffkonstanten bleiben gleich.
- Zähler, Nenner, Potenz: Im Zähler wächst das Ergebnis mit der Größe, im Nenner sinkt es. Die Hochzahl sagt, wie stark.
- Richtung: Ein Minuszeichen, ein Kehrwert oder eine Basis unter 1 kehren sie um.
- Einheit: Einheiten einsetzen und kürzen; was übrig bleibt, ist die Einheit des Ergebnisses.
Mehr zum Kürzen: Einheiten, Volumen und Zehnerpotenzen.
Proportionalitäten in Formeln
Nimm den Body-Mass-Index:
\[\text{BMI} = \frac{m}{l^2}\]
Dabei ist \(m\) die Körpermasse in kg, \(l\) die Körpergröße in m. Bei 81 kg und 1,80 m ist \(l^2 = 3{,}24\) m², der BMI also \(81 : 3{,}24 = 25\) kg/m².
Ohne Rechnung siehst du: Doppelte Masse (Zähler, Hochzahl 1) gibt doppelten BMI. Doppelte Größe (Nenner, quadriert) macht \(l^2\) viermal so groß, der BMI sinkt auf ein Viertel, nicht auf die Hälfte.
Grundlagen zu proportional und antiproportional: Verhältnisse, Prozent und Dreisatz.
Exponenten, Logarithmen und Einheiten
In Hochzahlen, Logarithmen und Exponentialfunktionen steht nie eine Einheit, nur Quotienten wie Zeit durch Zeit. Eine Aussage, die dort eine Einheit behauptet, ist falsch.
Der Zehnerlogarithmus einer Zahl ist die Hochzahl, mit der 10 diese Zahl ergibt:
| Argument | 0,01 | 0,1 | 1 | 10 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\log_{10}\) | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
Jede Stufe nach rechts heißt: Argument mal 10, Logarithmus plus 1. Argumente unter 1 geben negative Werte. Die wichtigste Anwendung ist der pH-Wert:
\[\mathrm{pH} = -\log_{10}\left(\frac{c(\mathrm{H^+})}{1\ \text{mol/L}}\right)\]
Gemeint ist der Zahlenwert der H⁺-Konzentration (genauer: Oxoniumionen), die Einheit kürzt sich weg. Bei pH 3 sind es \(10^{-3}\) mol/L, bei pH 5 nur \(10^{-5}\) mol/L: Zwei Stufen sind Faktor 100, nicht „doppelt so sauer“. Das Minuszeichen dreht die Richtung: kleinerer pH, mehr H⁺. Mehr dazu unter Säuren, Basen und pH.
Aussagen prüfen am Beispiel Halbwertszeit
Für viele Arzneistoffe gilt beim Abbau näherungsweise:
\[c(t) = c_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}\]
\(c(t)\) ist die Blutkonzentration zur Zeit \(t\), \(c_0\) der Anfangswert, \(t_{1/2}\) die Halbwertszeit. Nimm \(c_0 = 8\) mg/L und \(t_{1/2} = 6\) h.
Die Kurve zeigt: Alle 6 Stunden halbiert sich der Wert (8, 4, 2, 1, 0,5 mg/L), null wird er nie. Welche Aussage trifft zu?
- Nach 12 Stunden ist noch die Hälfte des Wirkstoffs vorhanden.
- Ist \(c_0\) doppelt so groß, ist \(c\) zu jedem Zeitpunkt doppelt so groß.
- Der Exponent \(t/t_{1/2}\) hat die Einheit Stunden.
- Nach 24 Stunden ist kein Wirkstoff mehr vorhanden.
- Eine kürzere Halbwertszeit bedeutet eine langsamere Abnahme.
Lösung: Aussagen abhaken
- falsch. Zwei Halbwertszeiten: ein Viertel, 2 mg/L.
- richtig. \(c_0\) ist ein Faktor mit Hochzahl 1.
- falsch. Stunden durch Stunden kürzen sich.
- falsch. Vier Halbwertszeiten: \(8 \cdot \tfrac{1}{16} = 0{,}5\) mg/L.
- falsch. Kürzeres \(t_{1/2}\) heißt größerer Exponent, schnellere Abnahme.
Kontrolle über den Grenzfall: Bei \(t = 0\) ist \(c = c_0\).
Fünf Zusammenhänge erkennen
In Messreihen tauchen immer wieder fünf Typen auf: linear (\(y \sim x\)), quadratisch (\(y \sim x^2\)), kubisch (\(y \sim x^3\)), Wurzel (\(y \sim \sqrt{x}\)) und reziprok (\(y \sim 1/x\)). \(\sim\) heißt „proportional zu“.
In der Abbildung gehen alle Kurven durch (1 | 1). Danach flacht die Wurzel ab, die reziproke Kurve fällt, quadratisch und kubisch werden immer steiler. Erst die Faktoren verraten den Typ.
Der Verdopplungstest
Such zwei Zeilen, in denen sich \(x\) verdoppelt, und lies ab, mit welchem Faktor sich \(y\) ändert. Die Tabelle nennt diesen Faktor auch für andere Schritte:
| Zusammenhang | \(x\) mal 2 | \(x\) mal 3 | \(x\) mal 4 |
|---|---|---|---|
| linear | 2 | 3 | 4 |
| quadratisch | 4 | 9 | 16 |
| kubisch | 8 | 27 | 64 |
| Wurzel | etwa 1,41 | etwa 1,73 | 2 |
| reziprok | 0,5 | 1/3 | 0,25 |
Beispiel: Kugelförmige Arzneistoff-Pellets, nach Durchmesser sortiert und gewogen.
| Durchmesser \(d\) in mm | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Masse \(m\) in mg | 0,5 | 4 | 13,5 | 32 |
Von 1 auf 2 mm und von 2 auf 4 mm wächst die Masse jeweils mal 8: \(m \sim d^3\), passend zum Kugelvolumen, das mit \(d^3\) wächst.
Quotienten- und Produktcheck
Gilt \(y = k \cdot x^n\), ist \(y/x^n = k\) in jeder Zeile; bei Wurzeln prüfst du einfacher \(y^2/x\), bei reziproken Zusammenhängen das Produkt \(x \cdot y\).
Bei den Pellets ergibt \(m/d^3\) überall 0,5 (\(0{,}5/1\), \(4/8\), \(13{,}5/27\), \(32/64\)), auch für \(d = 3\).
Die Pellet-Massen wachsen um 3,5, dann 9,5, dann 18,5 mg. Wachsende Differenzen zeigen aber quadratische und kubische Zusammenhänge gleichermaßen. Rechne mit Faktoren.
Reziprok verhält sich ein Gas in einer Spritze bei gleicher Temperatur:
| Volumen \(V\) in mL | 10 | 20 | 40 | 50 |
|---|---|---|---|---|
| Druck \(p\) in kPa | 200 | 100 | 50 | 40 |
Produktcheck: \(10 \cdot 200 = 20 \cdot 100 = 40 \cdot 50 = 50 \cdot 40 = 2000\), also \(p \sim 1/V\). Prüf immer alle Paare: Eine unpassende Zeile kippt die Vermutung.
Welcher Zusammenhang gilt jeweils?
Tabelle 1: Ein Ball fällt aus verschiedenen Höhen.
| Fallhöhe \(h\) in m | 0,8 | 3,2 | 7,2 |
|---|---|---|---|
| Fallzeit \(t\) in s | 0,4 | 0,8 | 1,2 |
Lösung Tabelle 1
Höhe mal 4 gibt Zeit mal 2, mal 9 gibt mal 3: \(t \sim \sqrt{h}\). Kontrolle mit \(t^2/h\): \(0{,}16/0{,}8 = 0{,}64/3{,}2 = 1{,}44/7{,}2 = 0{,}2\).
Tabelle 2: Runde Wirkstoffpflaster verschiedener Größe.
| Durchmesser \(d\) in cm | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|
| Wirkstoff \(m\) in mg | 3 | 12 | 27 |
Lösung Tabelle 2
Mal 2 gibt mal 4, mal 3 gibt mal 9: \(m \sim d^2\). Kontrolle: \(m/d^2 = 0{,}75\) mg/cm² in jeder Zeile.
Tabelle 3: Eine Infusionspumpe läuft unterschiedlich lange.
| Laufzeit \(t\) in min | 10 | 25 | 40 |
|---|---|---|---|
| Volumen \(V\) in mL | 20 | 50 | 80 |
Lösung Tabelle 3
Zeit mal 4 gibt Volumen mal 4. Kontrolle: \(V/t = 2\) mL/min in jeder Zeile, auch bei 25 min: \(V \sim t\).
Tabellen und Formeln im Prüfungsformat mit Timer findest du im Übungstest Analyse quantitativer Zusammenhänge.
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