Einheiten, Volumen und Zehnerpotenzen
Präfixe, Massen, Liter und Kubikzentimeter, Konzentrationsangaben und die Einheit als Rechenkontrolle.
Einheiten stecken im Untertest in fast jeder Aufgabe: Milligramm pro Kilogramm, Milliliter pro Stunde, Prozent bezogen auf 100 mL. Wer das Komma in die falsche Richtung schiebt, liegt schnell um den Faktor 1000 daneben. Hier lernst du die wichtigsten Umrechnungen und nutzt die Einheit als Kontrolle für deine Rechnung.
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Einheiten stecken im Untertest in fast jeder Aufgabe: Milligramm pro Kilogramm, Milliliter pro Stunde, Prozent bezogen auf 100 mL. Wer das Komma in die falsche Richtung schiebt, liegt schnell um den Faktor 1000 daneben. Hier lernst du die wichtigsten Umrechnungen und nutzt die Einheit als Kontrolle für deine Rechnung.
- Du rechnest Massen und Volumen zwischen den Präfixen sicher um und weißt, warum bei Flächen und Volumen andere Faktoren gelten.
- Du übersetzt Konzentrationsangaben wie % (m/V), g/L und mg/mL ineinander.
- Du multiplizierst und dividierst Zehnerpotenzen im Kopf.
- Du schreibst Einheiten mit und erkennst an der Ergebniseinheit, ob dein Rechenweg stimmt.
Präfixe sind Zehnerpotenzen
Ein Präfix wie milli oder kilo steht für eine Zehnerpotenz vor der Einheit: 1 mg = \(10^{-3}\) g, 1 kg = \(10^{3}\) g. Umrechnen heißt, den Präfix gegen seine Zehnerpotenz zu tauschen.
| Präfix | Zehnerpotenz |
|---|---|
| Kilo (k) | \(10^{3}\) |
| Dezi (d) | \(10^{-1}\) |
| Zenti (c) | \(10^{-2}\) |
| Milli (m) | \(10^{-3}\) |
| Mikro (µ) | \(10^{-6}\) |
| Nano (n) | \(10^{-9}\) |
Massen umrechnen
Meist brauchst du die Leiter kg, g, mg, µg, ng. Zwischen zwei Sprossen liegt der Faktor 1000, das Komma wandert drei Stellen: 0,35 g sind 350 mg, 2500 µg sind 2,5 mg. Prüfe vorher die Richtung: Gehst du zu einer kleineren Einheit, wird die Zahl größer.
Die Abbildung zeigt die Leiter als Bild: Abwärts multiplizierst du mit 1000, aufwärts teilst du durch 1000.
Zwischen mg und µg liegt der Faktor 1000, nicht 100, denn Zenti und Dezi gibt es bei Massen praktisch nicht. 1 g sind also 1 000 000 µg.
Volumen
Diese Kette muss sitzen:
\[1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{mL} = 1000\ \text{cm}^3\]
Daraus folgt 1 mL = 1 cm³, wie der Würfel zeigt.
Entlang jeder Kante des Liter-Würfels passen 10 kleine Würfel, insgesamt 10 · 10 · 10 = 1000 Kubikzentimeter, also 1000 mL. Ebenso ist 1 m³ = 1000 dm³ = 1000 L, etwa fünf bis sechs volle Badewannen.
Längen, Flächen, Volumen
Bei Flächen zählen zwei Kanten mit, bei Volumen drei:
| Größe | Faktor pro Stufe | Beispiel |
|---|---|---|
| Länge | 10 | 1 cm = 10 mm |
| Fläche | 10 · 10 = 100 | 1 cm² = 100 mm² |
| Volumen | 10 · 10 · 10 = 1000 | 1 cm³ = 1000 mm³ |
Zum Mitdenken: Ein Würfel mit 2 cm Kante hat das Volumen 2 · 2 · 2 = 8 cm³, also 8 mL. Nicht 24 cm², das wäre die Oberfläche, und nicht 2, das ist nur die Kante.
Konzentrationsangaben
Für Masse pro Volumen gilt: mg/mL ist dasselbe wie g/L, denn Zähler und Nenner sind beide um den Faktor 1000 größer.
| Angabe | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
| % (m/V) | Gramm Stoff in 100 mL Lösung | 0,9 % Kochsalzlösung |
| % (m/m) | Gramm Stoff in 100 g Zubereitung | 5 % Salbe |
| % (V/V) | Milliliter Stoff in 100 mL Mischung | 70 % Ethanol |
| mmol/L | Stoffmenge pro Liter | 4 mmol/L = 0,004 mol/L |
0,9 % (m/V) heißt 0,9 g in 100 mL, also 9 g/L = 9 mg/mL. In 500 mL stecken 4,5 g Kochsalz. Was mmol und mol sind, erklärt Stoffmenge und Gleichungen.
1 % (m/V) = 1 g pro 100 mL = 10 g/L = 10 mg/mL.
Wasser und verdünnte wässrige Lösungen haben näherungsweise 1 g pro mL. Bei Sirupen, Salben oder konzentrierten Lösungen brauchst du die angegebene Dichte, siehe Mischungen und Verdünnungen.
Zusammengesetzte Einheiten
Bei kombinierten Einheiten gilt: erst angleichen, dann rechnen. 90 mL/h sind 90 : 60 = 1,5 mL/min. Bei 250 mL einer Lösung mit 2 g/L = 2 mg/mL rechnest du 2 mg/mL · 250 mL = 500 mg.
Noch sicherer wird es, wenn du Einheiten wie Zahlen kürzt (Dimensionsanalyse). Wie viel Saft mit 6 mg/mL enthält 30 mg Wirkstoff?
\[\frac{30\ \text{mg}}{6\ \text{mg/mL}} = 5\ \text{mL}\]
Die mg kürzen sich weg, übrig bleibt die gesuchte Einheit mL. Wer 6 mg/mL · 30 mg rechnet, bekommt die sinnlose Einheit mg²/mL und merkt den Fehler vor dem Klicken. Schreib deshalb zu jeder Zahl die Einheit mit. Wie du die Größenordnung prüfst, zeigt Rechnen ohne Taschenrechner.
Zehnerpotenzen im Kopf
Zahlen wie \(3 \cdot 10^{4}\) bestehen aus der Mantisse (hier 3) und der Zehnerpotenz.
\[a \cdot 10^{m} \cdot b \cdot 10^{n} = (a \cdot b) \cdot 10^{m+n} \qquad \frac{a \cdot 10^{m}}{b \cdot 10^{n}} = \frac{a}{b} \cdot 10^{m-n}\]
Die Mantissen \(a\) und \(b\) multiplizierst oder teilst du, die Exponenten \(m\) und \(n\) addierst oder subtrahierst du:
- \(3 \cdot 10^{4} \cdot 2 \cdot 10^{-6} = 6 \cdot 10^{4 + (-6)} = 6 \cdot 10^{-2}\)
- \((8 \cdot 10^{5}) : (4 \cdot 10^{-2}) = 2 \cdot 10^{5 - (-2)} = 2 \cdot 10^{7}\)
Achte auf das Minus: 5 minus −2 ergibt 7. Bei 0,00072 wandert das Komma vier Stellen nach rechts, also wird der Exponent um 4 kleiner: \(0{,}00072 = 7{,}2 \cdot 10^{-4}\). Präfixe sind nur eine andere Schreibweise dafür: \(4 \cdot 10^{-3}\) mol/L = 4 mmol/L.
Umrechnungen, die sitzen müssen
| Umrechnung | Wert |
|---|---|
| 1 kg | 1000 g = 1 000 000 mg |
| 1 mL | 1 cm³ = 1000 µL |
| 1 m² | 10 000 cm² |
| 1 % (m/V) | 10 g/L = 10 mg/mL |
Rechne alle acht im Kopf, bevor du aufklappst:
- 4 g/L = ? mg/mL
- 250 µL = ? mL
- 3 % (m/V) = ? mg/mL
- 1,5 L = ? cm³
- 6 cm³ = ? mm³
- 0,02 kg = ? mg
- 120 mL/h = ? mL/min
- \(5 \cdot 10^{-3}\) g = ? mg
Lösungen zum Selbsttest
- 4 mg/mL, denn g/L = mg/mL.
- 0,25 mL.
- 30 mg/mL: 3 g in 100 mL sind 30 g/L.
- 1500 cm³.
- 6000 mm³ (Volumen, Faktor 1000).
- 20 000 mg: 0,02 kg = 20 g.
- 2 mL/min: 120 : 60.
- 5 mg, denn \(10^{-3}\) g = 1 mg.
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